Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 9 & - 36 & 30 \\ - 36 & 192 & - 180 \\ 30 & - 180 & 180 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 15 \\ - 48 \\ 30 \end{array}]$

Step 1

El núcleo de una transformación es un vector que hace que la transformación sea igual al vector nulo (la imagen previa de la transformación).

$[\begin{array}{c} 15 \\ - 48 \\ 30 \end{array}] = 0$

Step 2

Crea un sistema de ecuaciones a partir de la ecuación vectorial.

$15 = 0$

$- 48 = 0$

$30 = 0$

Step 3

Resta $15$ de ambos lados de la ecuación.

$0 = - 15$

$- 48 = 0$

$30 = 0$

Step 4

Suma $48$ a ambos lados de la ecuación.

$0 = 48$

$0 = - 15$

$30 = 0$

Step 5

Resta $30$ de ambos lados de la ecuación.

$0 = - 30$

$0 = - 15$

$0 = 48$

Step 6

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} - 15 \\ 48 \\ - 30 \end{array}]$

Step 7

Obtén la forma escalonada reducida de la matriz.

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Realiza la operación de fila $R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}$ en $R_{1}$ (fila $1$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $1$ .

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Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con la operación de la fila $R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} R_{1} \\ 48 \\ - 30 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}$

Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{15}) \cdot (- 15) \\ 48 \\ - 30 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}$

Simplifica $R_{1}$ (fila $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 48 \\ - 30 \end{array}]$

Realiza la operación de fila $R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}$ en $R_{2}$ (fila $2$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $0$ .

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Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con la operación de la fila $R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 48 \cdot R_{1} + R_{2} \\ - 30 \end{array}]$

$R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}$

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ (- 48) \cdot (1) + 48 \\ - 30 \end{array}]$

$R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifica $R_{2}$ (fila $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 30 \end{array}]$

Realiza la operación de fila $R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}$ en $R_{3}$ (fila $3$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $0$ .

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Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con la operación de la fila $R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 30 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}$

Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ (30) \cdot (1) - 30 \end{array}]$

$R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}$

Simplifica $R_{3}$ (fila $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Step 8

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$0 = 1$

Step 9

Esta expresión es la solución establecida para el sistema de ecuaciones.

${}$

Step 10

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Step 11

El espacio nulo del conjunto es el conjunto de vectores creados a partir de las variables libres del sistema.

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$

Step 12

El núcleo de $M$ es el subespacio ${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$ .

$K (M) = {[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$