Álgebra lineal Ejemplos

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 9 & - 36 & 30 - 36 & 192 & - 180 30 & - 180 & 180 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 15 - 48 30 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 9 & - 36 & 30 \\ - 36 & 192 & - 180 \\ 30 & - 180 & 180 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 15 \\ - 48 \\ 30 \end{array}]$

Step 1

El núcleo de una transformación es un vector que hace que la transformación sea igual al vector nulo (la imagen previa de la transformación).

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 15 - 48 30 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = 0

$[\begin{array}{c} 15 \\ - 48 \\ 30 \end{array}] = 0$

Step 2

Crea un sistema de ecuaciones a partir de la ecuación vectorial.

15 = 0

$15 = 0$

- 48 = 0

$- 48 = 0$

30 = 0

$30 = 0$

Step 3

Resta

15

$15$ de ambos lados de la ecuación.

0 = - 15

$0 = - 15$

- 48 = 0

$- 48 = 0$

30 = 0

$30 = 0$

Step 4

Suma

48

$48$ a ambos lados de la ecuación.

0 = 48

$0 = 48$

0 = - 15

$0 = - 15$

30 = 0

$30 = 0$

Step 5

Resta

30

$30$ de ambos lados de la ecuación.

0 = - 30

$0 = - 30$

0 = - 15

$0 = - 15$

0 = 48

$0 = 48$

Step 6

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 15 48 - 30 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 15 \\ 48 \\ - 30 \end{array}]$

Step 7

Obtén la forma escalonada reducida de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Realiza la operación de fila

R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}

$R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}$ en

R_{1}

$R_{1}$ (fila

1

$1$ ) para convertir algunos elementos en la fila a

1

$1$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza

R_{1}

$R_{1}$ (fila

1

$1$ ) con la operación de la fila

R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}

$R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1}{15} R_{1} 48 - 30 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} R_{1} \\ 48 \\ - 30 \end{array}]$

R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}

$R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}$

Reemplaza

R_{1}

$R_{1}$ (fila

1

$1$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila

R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}

$R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} (- \frac{1}{15}) \cdot (- 15) 48 - 30 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{15}) \cdot (- 15) \\ 48 \\ - 30 \end{array}]$

R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}

$R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}$

Simplifica

R_{1}

$R_{1}$ (fila

1

$1$ ).

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 148 - 30 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 48 \\ - 30 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 148 - 30 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 48 \\ - 30 \end{array}]$

Realiza la operación de fila

R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}$ en

R_{2}

$R_{2}$ (fila

2

$2$ ) para convertir algunos elementos en la fila a

0

$0$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza

R_{2}

$R_{2}$ (fila

2

$2$ ) con la operación de la fila

R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 48 \cdot R_{1} + R_{2} - 30 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 48 \cdot R_{1} + R_{2} \\ - 30 \end{array}]$

R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}$

Reemplaza

R_{2}

$R_{2}$ (fila

2

$2$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila

R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 (- 48) \cdot (1) + 48 - 30 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ (- 48) \cdot (1) + 48 \\ - 30 \end{array}]$

R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifica

R_{2}

$R_{2}$ (fila

2

$2$ ).

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 30 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 30 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 30 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 30 \end{array}]$

Realiza la operación de fila

R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}

$R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}$ en

R_{3}

$R_{3}$ (fila

3

$3$ ) para convertir algunos elementos en la fila a

0

$0$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza

R_{3}

$R_{3}$ (fila

3

$3$ ) con la operación de la fila

R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}

$R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 30 \cdot R_{1} + R_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 30 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}

$R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}$

Reemplaza

R_{3}

$R_{3}$ (fila

3

$3$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila

R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}

$R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 (30) \cdot (1) - 30 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ (30) \cdot (1) - 30 \end{array}]$

R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}

$R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}$

Simplifica

R_{3}

$R_{3}$ (fila

3

$3$ ).

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 100 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 100 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 100 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Step 8

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

0 = 1

$0 = 1$

Step 9

Esta expresión es la solución establecida para el sistema de ecuaciones.

{}

${}$

Step 10

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

X = = [\begin{matrix} 0 \end{matrix}]

$X = = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Step 11

El espacio nulo del conjunto es el conjunto de vectores creados a partir de las variables libres del sistema.

{[\begin{matrix} 0 \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$

Step 12

El núcleo de

M

$M$ es el subespacio

{[\begin{matrix} 0 \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$ .

K (M) = {[\begin{matrix} 0 \end{matrix}]}

$K (M) = {[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$